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✏️ 章节练习

精心设计的练习题，帮助巩固二次不等式的理解和应用，包括基础、综合和拓展练习。

练习题说明

本练习题分为三个难度等级，从基础概念巩固到思维拓展，帮助学生循序渐进地掌握二次不等式的核心概念。每题均配备详细答案解析。

基础练习：标准二次不等式求解

基础标准二次不等式

1.
求 \( x^2 - 5x - 14 > 0 \) 的解集（对应习题6）。
目的：练习"因式分解求临界值 + 结合开口方向定解集"。
答案：
解 \( x^2 - 5x - 14 = 0 \)，\( (x - 7)(x + 2) = 0 \)，临界值 \( x = 7, -2 \)。
\( a = 1 > 0 \)，开口向上，\( y > 0 \) 在两侧：\( x < -2 \) 或 \( x > 7 \)。
解集：\( \{ x: x < -2 \} \cup \{ x: x > 7 \} \)。
2.
求 \( 2x^2 - 5x - 3 < 0 \) 的解集（对应习题7b）。
目的：练习二次项系数为正的不等式，及十字相乘法因式分解。
答案：
解 \( 2x^2 - 5x - 3 = 0 \)，\( (2x + 1)(x - 3) = 0 \)，临界值 \( x = -\frac{1}{2}, 3 \)。
\( a = 2 > 0 \)，开口向上，\( y < 0 \) 在中间：\( -\frac{1}{2} < x < 3 \)。
解集：\( \{ x: -\frac{1}{2} < x < 3 \} \)。

综合练习：复合条件与分式不等式

综合分式不等式

3.
已知 \( x \neq 3 \)，求 \( \frac{5}{x - 3} < 2 \) 的解集（对应习题8）。
目的：练习"分式不等式转化为二次不等式"，掌握"乘 \((x - 3)^2\)"的技巧。
答案：
\( \frac{5}{x - 3} - 2 < 0 \)，\( \frac{5 - 2(x - 3)}{x - 3} < 0 \)，\( \frac{5 - 2x + 6}{x - 3} < 0 \)，\( \frac{11 - 2x}{x - 3} < 0 \)。
令 \( \frac{11 - 2x}{x - 3} < 0 \)，转化为 \( (11 - 2x)(x - 3) < 0 \)，\( -2x^2 + 6x + 11x - 33 < 0 \)，\( -2x^2 + 17x - 33 < 0 \)。
乘 -1（不等号反向）：\( 2x^2 - 17x + 33 > 0 \)。
解 \( 2x^2 - 17x + 33 = 0 \)，判别式 \( 289 - 264 = 25 \)，\( x = \frac{17 \pm 5}{4} = \frac{22}{4} = 5.5 \)，\( x = \frac{12}{4} = 3 \)。
但 \( x = 3 \) 使分母为0，无意义。临界值 \( x = 5.5 \)。
\( a = 2 > 0 \)，开口向上，\( y > 0 \) 在两侧，但需 \( x \neq 3 \)。
解集：\( x < 3 \) 或 \( x > 5.5 \)（排除 \( x = 3 \)）。
4.
求 \( \frac{6}{x^2} + \frac{7}{x} \leq 3 \)（\( x \neq 0 \)，对应习题4f）的解集。
目的：练习"分母含 \( x^2 \) 的分式不等式转化为二次不等式"。
答案：
\( \frac{6}{x^2} + \frac{7}{x} - 3 \leq 0 \)，\( \frac{6 + 7x - 3x^2}{x^2} \leq 0 \)，\( \frac{-3x^2 + 7x + 6}{x^2} \leq 0 \)。
令 \( \frac{-3x^2 + 7x + 6}{x^2} \leq 0 \)，转化为 \( (-3x^2 + 7x + 6) \cdot x^2 \leq 0 \)，但 \( x^2 > 0 \)，所以 \( -3x^2 + 7x + 6 \leq 0 \)。
解 \( -3x^2 + 7x + 6 = 0 \)，判别式 \( 49 + 72 = 121 = 11^2 \)，\( x = \frac{-7 \pm 11}{6} \)，\( x = \frac{4}{6} = \frac{2}{3} \)，\( x = \frac{-18}{6} = -3 \)。
\( a = -3 < 0 \)，开口向下，\( y \leq 0 \) 在两侧：\( x \leq -3 \) 或 \( x \geq \frac{2}{3} \)，且 \( x \neq 0 \)。
解集：\( x \leq -3 \) 或 \( x \geq \frac{2}{3} \)（排除 \( x = 0 \)）。

拓展练习：二次方程判别式与不等式结合

拓展判别式应用

5.
求使方程 \( x^2 - kx + (k + 3) = 0 \) 无实根的 \( k \) 的取值范围（对应习题5a）。
目的：结合二次方程判别式 \( \Delta = b^2 - 4ac < 0 \) 转化为不等式求解。
答案：
\( a = 1 \)，\( b = -k \)，\( c = k + 3 \)。
\( \Delta = (-k)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (k + 3) = k^2 - 4k - 12 < 0 \)。
解 \( k^2 - 4k - 12 < 0 \)，\( (k - 6)(k + 2) < 0 \)，临界值 \( k = -2, 6 \)。
\( a = 1 > 0 \)，开口向上，\( y < 0 \) 在中间：\( -2 < k < 6 \)。
解集：\( k \in (-2, 6) \)。
6.
证明：若方程 \( kx^2 - 2kx + 3 = 0 \) 无实根，则 \( 0 \leq k < 3 \)（对应习题9）。
目的：综合"判别式"与"二次项系数是否为0"的分类讨论。
证明：
\( a = k \)，\( b = -2k \)，\( c = 3 \)。
判别式 \( \Delta = (-2k)^2 - 4 \cdot k \cdot 3 = 4k^2 - 12k \)。
无实根：\( \Delta < 0 \) 且 \( a \neq 0 \)（即 \( k \neq 0 \)）。
\( 4k^2 - 12k < 0 \)，\( 4k(k - 3) < 0 \)，临界值 \( k = 0, 3 \)。
\( a = 4 > 0 \)，开口向上，\( y < 0 \) 在中间：\( 0 < k < 3 \)。
当 \( k = 0 \) 时，方程退化为 \( 3 = 0 \)，无解，也满足无实根。
因此总的取值范围：\( 0 \leq k < 3 \)。

练习技巧与建议

💡 练习策略

  • 熟练掌握四步流程：移项 → 求临界值 → 判断开口 → 确定解集
  • 注意分式不等式：优先转化为整式乘积形式，考虑分母为零的情况
  • 仔细代数运算：展开和整理时注意符号和系数，避免计算错误
  • 结合图像理解：通过二次函数图像直观理解解集的范围
  • 分类讨论意识：对于含参数的不等式，学会分类讨论

通过系统练习，你将熟练掌握二次不等式的解法，为学习不等式组和实际应用问题打下坚实基础。